Best Hermitian interpolation in presence of uncertainties

Résumé : En optimisation distribuée (sous contrainte d'équation aux dérivées partielles), il est courant d'accélérer les algorithmes itératifs par des techniques s'appuyant sur des évaluations approchées de la fonctionnelle à minimiser par un modèle économique de basse fidélité (“métamodèle”). Différent types de métamodèles sont possibles (polynômes d'interpolation, réseaux de neurones, modèles de krigeage, etc). Ces métamodèles sont construits à partir d'une base de données de valeurs de fonctionnelle précalculées par le modèle coûteux de haute fidélité. Dans le cas de méthodes numériques avec équation adjointe, on dispose également au même coût des valeurs de dérivée de fonctionnelle, même si, en général, ces valeurs sont connues avec une moindre précision. Ce contexte soulève alors la question suivante : l'information sur les dérivées, connue pour être moins précise, doit-elle être prise en compte dans la construction du métamodèle ? Comme première étape pour aborder cette question, on considère le cas d'un métamodèle par interpolation polynômiale, de Lagrange ou hermitienne, lorsque les valeurs interpolées de la fonction sont connues exactement, et celles de la dérivée seulement approximativement, en supposant qu'une borne supérieure uniforme est connue sur cette approximation. Ceci nous permet de revisiter la notion classique de meilleure approximation, et d'introduire un critère nous permettant de définir le choix optimal des points d'interpolation. Ce choix est identifié par voie analytique ou numérique. Si les points d'interpolation sont en nombre n + 1, il est avantageux de prendre en compte l'information sur les dérivées dès lors que Epsilon ≤ Epsilon_0 , où Epsilon_0 décroit avec n, ce qui milite en faveur d'interpolants hermitiens de faible degré par morceaux. Dans tous nos tests numériques, on a constaté que la distribution de points de Tchebyshev est toujours proche de l'optimalité, et fournit des approximants bornés de sensibilté quasi-minimale aux incertitudes.