La proportion analogique dans les groupes. Application aux permutations et aux matrices.

Résumé : Ce rapport de recherche étudie la notion de proportion analogique entre quatre éléments d'un groupe, en respectant les axiomes proposés par Lepage [1] et en suivant aussi la notion de factorisation, donnée comme fondamentale par Stroppa et Yvon pour dénir la proportion analogique [2]. On montre d'abord qu'en général, l'équation analogique n'a pas de solution dans un groupe non commutatif. On s'intéresse ensuite aux conditions que doivent respecter trois éléments pour qu'il existe un quatrième en proportion analogique avec eux. Ces conditions sont présentées de diérentes manières, que l'on démontre comme équivalentes. On dénit ensuite la notion de dissemblance analogique à partir d'une distance sur le groupe. On s'intéresse ensuite au cas particulier du groupe des permutations sur un ensemble à n éléments. On caractérise les conditions d'existence et on montre comment construire des proportions analogiques à partir de deux éléments et on en dénombre les cas possibles. On présente une distance sur le groupe et on en déduit une dissimilarité analogique entre quatre permutations. Pour terminer, on étudie le groupe des matrices inversibles. On caractérise les conditions d'existence et on montre comment construire des proportions analogiques à partir de deux matrices. Quelques cas particuliers sont présentés. Enn, on dénit une dissimilarité analogique entre quatre matrices.